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设$X_1,X_2,\cdots,X_n$和$X^*_1,X^*_2,\cdots,
X^*_n$分别服从正态分布$N(\mu_i,\sigma^2)$和$N(\mu^*_i,\sigma^2)$,
以$X_{(1)}$,
$X^*_{(1)}$分别表示$X_1,\cdots,X_n$和$X^*_1,\cdots,X^*_n$的极小次序统计量,
以$X_{(n)}$, $X^*_{(n)}$分别表示$X_1,\cdots,X_n$和$X^*_1,\cdots$,
$X^*_n$的极大次序统计量. 我们得到了如下结果:
(i)\,如果存在严格单调函数$f$使得$(f(\mu_{1}),\cdots,f(\mu_{n}))
\succeq_{\text{m}}$ $(f(\mu^{*}_{1}),\cdots,f(\mu^{*}_{n}))$,
且$f'(x)f''(x)\!\geq\!0$, 则$X_{(1)}\!\leq_{\text{st}}\!X^*_{(1)}$;
(ii)\,如果存在严格单调函数$f$使得$(f(\mu_{1})$,
$\cdots,f(\mu_{n}))\succeq_{\text{m}}(f(\mu^{*}_{1}),\cdots,f(\mu^{*}_{n}))$,
且$f'(x)f''(x)\leq 0$, 则$X_{(n)}\geq_{\text{st}}X^*_{(n)}$.
(iii)\,设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$和\, $X^*_{1},X^*_{2},\cdots,
X^*_{n}$分别服从正态分布$N(\mu,\sigma_i^2)$和$N(\mu,\sigma_i^{*2})$,
若$({1}/{\sigma_{1}},\cdots,{1}/{\sigma_{n}})\succeq_{\text{m}}
({1}/{\sigma^{*}_{1}},\cdots,{1}/{\sigma^{*}_{n}})$,
则有$X_{(1)}\leq_{\text{st}}X^*_{(1)}$和$X_{(n)}\geq_{\text{st}}X^*_{(n)}$同时成立.
