本文证明了自正则化Davis大数律和重对数律的精确渐近性, 即
{\heiti\bf 定理1}\hy 设$\ep X=0$, 且$\ep X^2I_{(|X|\leq x)}$在无穷远处是缓变函数, 则$$
\lim_{\varepsilon\searrow0}\varepsilon^2\tsm_{n\geq3}\frac{1}{n\log n}
\pr\Big(\Big|\frac{S_n}{V_n}\Big|\geq\varepsilon\sqrt{\log\log n}\Big)=1.
$${\heiti\bf 定理2}\hy 设$\ep X=0$, 且$\ep X^2I_{(|X|\leq x)}$在无穷远处是缓变函数, 则对$0\leq\delta\leq1$, 有$$
\lim_{\varepsilon\searrow0}\varepsilon^{2\delta+2}\tsm_{n\geq1}
\frac{(\log n)^{\delta}}{n}\pr\Big(\Big|\frac{S_n}{V_n}\Big|
\geq\varepsilon\sqrt{\log n}\Big)=\frac{1}{\delta+1}\ep|N|^{2\delta+2},
$$
其中$N$为标准正态随机变量。