我们对高维线性模型统计推断近年来发展的一些结果进行了综述. 我们介绍了三种主要的纠偏LASSO估计的思想与方法,这些纠偏LASSO估计具有渐近正态性, 因此可以对低维系数进行统计推断. 此外,我们也对基于纠偏LASSO进行bootstrap抽样的同时推断方法做了简单介绍.

本文从随机微分方程和倒向随机微分方程基本理论和应用背景谈起, 结合随机最优控制理论和金融市场中的期权定价理论导出完全耦合的正倒向随机微分方程的形式. 进而从该类方程的可解性这一角度出发,对已有的理论方法进行分析和探讨,引入一种非马尔科夫框架下保证解的存在唯一性的``统一框架''方法,给出比较定理、解的高维估计等重要性质,并联系相关偏微分方程系统给出其概率解释. 对实际中应用广泛的线性正倒向随机微分方程引入了一种线性变换的方法作为``统一框架''方法的重要补充和完善,使得正倒向随机微分方程的应用更加广泛.

本文给出了一类加权的第二Borel-Cantelli引理.这是对以前该引理的两种推广的一个补充.

考虑具有两个相互关联的竞争失效机理导致部件失效的k/n系统可靠性问题, 关联性由Gumbel-Barnett (GB) Copula连接,边缘分布为尺度和形状参数不同的Weibull分布.研究了GB Copula对部件和k/n系统失效率和可靠度的影响.证明了当边缘分布形状参数相等时, 在不同取值下,部件对应单调递增、单调递减和浴盆状失效率.模拟发现k/n(n>1)系统可靠度并不一致优于简单系统(即k/n=1/1).基于逐步II型截尾样本, 讨论了k/n系统参数和可靠度的Bayes估计,并进行了Monte Carlo试验与分析. 最后,提供了一个实例演示本文构建的模型和提出的方法.

本文主要研究了环境污染下的Lotka-Volterra随机捕食模型. 得到了周期解的存在性和全局吸引性. 更进一步,我们给出了非平凡正周期解存在以及全局吸引性的充分条件. 最后,数值模拟验证了我们的结果.

本文研究了解释变量为过程, 响应变量为标量的函数型线性回归模型的变点检验问题. 基于投影矩估计量, 在截断的有限维空间上, 论文给出了检验统计量和变点估计量, 获得了检验统计量的渐近分布, 并在一定的条件下证明了变点估计量的相合性. 数值模拟和实际数据分析呈现了所提方法的有限样本表现.

在流行病学、生物医学和临床试验等领域的研究中,Cox模型是最受欢迎的半参数回归模型之一. 在建模过程中,观测到的协变量通常是被污染的, 污染因子可测, 但是污染函数未知,直接使用被污染的协变量进行参数估计, 可能会造成错误的统计推断.研究者往往发现疾病治疗的最佳时刻点, 如果忽略这些辅助生存信息,可能导致估计效率的降低.本文研究带有污染协变量和辅助生存信息的Cox模型的一种改进估计,通过核平滑方法校准受污染的协变量, 并通过分组提取辅助生存信息用于参数估计,然后使用广义矩估计方法解决超维方程组求解的问题.模拟分析和实证研究结果表明:基于协变量校准后的Cox模型的广义矩估计方法比偏似然估计方法、协变量未调整
的Cox模型的广义矩估计方法的效果更好.

本文研究了部分信息下带有保费返还条款的DC养老金的时间一致性投资策略. 假设养老金管理者只拥有股票的部分信息,即只能观测到股票的价格, 而不能观测到股票的收益率. 养老金带有保费返还条款,在基金累积期死亡的参与者可以获得前期缴纳的所有保费. 此外,本文还考虑了通胀风险以及随机工资. 首先, 利用卡尔曼滤波理论,将部分信息情形下的最优投资组合问题转化为一个完全信息情形下的问题.然后, 通过求解一个扩展的HJB方程, 得到时间一致性投资策略和最优值函数,并给出了均值--方差有效前沿的参数表达式.最后, 用蒙特卡洛方法进行数值模拟,分析了部分信息和保费返还条款对股票投资比例和有效前沿的影响,并给出了相应的经济学解释.

追溯保费是一种依赖于保单期保险人实际损失的保费厘定计划, 是对过去已经发生的损失进行承保的保险方式.本文将追溯保费应用于再保险模型中,当最优准则选为最小化风险调整值而风险资本用TVaR来度量时,得到的最优分保函数形式为停止损失再保险. 进而,
研究了最优停止损失再保险中最优自留额的求解算法. 最后,假设损失服从指数分布、Pareto分布和Gamma分布等情形,利用数值举例的方法研究了税租乘数T和安全负荷系数\rho对最优自留额和最小风险调整值的影响. 结果表明, 当其他参数一定时,T增大, 最优自留额增大而最小风险调整值减小; 而其他参数一定时,最优自留额和最小风险调整值都会随着\rho的增大而增大.

资产价格的波动性是学者们十分关注的重要研究课题. 近年来, 学者们提出了许多波动率的估计方法, 并研究了估计量的相合性和渐近正态性. 本文重点研究了Kristensen\ucite{26}提出的NW型瞬时波动率核估计,指出其证明过程中存在的一些错误,并在合理的条件下进一步推导了估计量的强相合性和一致强相合性.

本文研究一类非平稳离散马氏决策过程的风险概率最小化问题, 其中转移概率和奖励函数随时间变化.与现有文献中的期望报酬/成本准则不同, 本文考虑最小化系统在首次到达某个目标集之前获得的总报酬未能达到给定利润目标的概率.在合理的假设条件下, 我们建立了相应的最优方程序列,验证了最优风险函数序列是最优方程序列的唯一解,并证明了最优马氏策略的存在性.

本文针对一种具有广泛适用性的半参数模型,部分线性可加模型, 研究其响应变量存在删失数据时模型系数和非参数函数的估计.对此, 提出了一种基于数据增广的复合分位数回归估计方法.该方法利用分位数回归和分布函数之间的联系, 构造插补数据集,并通过迭代采用复合分位数回归得到最终的估计值. 所提方法放宽了对模型的假设,不但对迭代初始值的要求很低, 还允许响应变量同时存在多种类型的删失,具有一定的普适性. 数值模拟表明所提方法可以较为准确地估计出删失部分线性可加模型的系数和非参数函数. 实证研究中, 本文选取了北京市空气质量数据,测度了PM10浓度、CO浓度、温度、气压以及露点对PM2.5浓度的影响.结果显示, 部分线性可加模型的复合分位数回归可以较好地从线性和非线性关系两个角度来刻画这些因素对PM2.5浓度的影响,并且所提方法在删失数据的处理上表现良好.

本文研究半直线上带渐近零漂移的紧邻随机游动.用M表示从1到0的一个游程内粒子的最大位置. 本文研究M的分布,并刻划它的渐近分布, 该结果与简单随机游动不同.

对于高维空间回归问题,本文提出了一种有效的稀疏贝叶斯模型. 通过引入分层高斯马尔可夫随机场先验,模型可以获取稀疏的空间变化参数, 同时对于相邻的空间区域也可以获取同质的参数.相较于传统的采样方法, 本文采用一种快速收敛的变分EM算法进行后验推断.对于M步, 最优化问题可以通过简单的变形转化为经典的自适应lasso问题进行快速求解. 通过数值模拟可以发现模型在参数估计和变量选择问题上取得较好的效果.最后模型用来分析欧洲社会人口学因素对各国新冠死亡率的影响.

本文研究在随机工资和模型不确定性影响下确定缴费型养老金的鲁棒最优投资问题. 在模型中,养老金账户中的资本可以投资于一种风险资产和一种无风险资产,假设风险资产价格满足Heston模型. 研究目标是通过选择最优投资策略,使得养老金账户的终端相对财富效用最大化. 利用随机动态规划的方法,我们求出了在幂效用函数和指数效用函数下鲁棒最优投资策略和相应的值函数.最后, 通过MATLAB软件对理论结果进行了数值分析.

设M是一个具有混沌表示性质的离散时间正规鞅,$\mathscr{S}(M)\subset L^2(M)\subset\mathscr{S}^*(M)$是基于M泛函的Gel'fand三元组. 从$\mathscr{S}(M)$到$\mathscr{S}^*(M)$的连续线性算子可称为M泛函上的广义算子, 以$\mathscr{L}$表示此类算子的全体.本文的主要目的在于建立$\mathscr{L}$值函数关于$\mathscr{L}$值测度的积分运算. 为此, 本文首先讨论$\mathscr{L}$值测度的基本性质,在此基础上定义了$\mathscr{L}$值函数关于$\mathscr{L}$值测度在卷积意义下的Bochner积分, 并建立了相应的控制收敛定理和卷积意义下的Fubini定理.

本文考虑对具有扩散扰动影响的复合泊松风险模型下的破产概率进行非参数估计.我们基于复傅里叶级数展开方法(CFS)对破产概率进行逼近,并利用索赔次数和索赔额的随机样本值对破产概率进行非参数估计.同时我们还对估计量在大样本下进行了误差分析, 提供了模拟结果,验证了在样本量有限下这种估计方法的有效性.

纵向数据是一类在社会学、经济学、生物医学、传染病学等领域有着广泛应用的重要的数据类型. 然而在实际问题中,人们会经常遇到变量维数很高且关心的变量不能直接观测也即存在测量误差的情形.为了解决此类问题, 本文研究存在测量误差的纵向数据下单指标模型的估计问题.基于局部线性光滑法和模拟外推(SIMEX)法,本文构造了估计单指标参数和非参连接函数的新方法.通过蒙特卡罗数值模拟验证所提估计方法的有效性,与忽略测量误差的Naive估计以及忽略个体内部相关性的估计相比,本文所构造的估计具有更小的均方误差. 最后,我们将本文方法应用到上市公司投资需求的实际数据分析中,结果表明在实际问题中测量误差对参数估计影响显著.

本文研究了一类耦合平均场正倒向随机微分方程的数值解法, 在其解耦场存在并满足一定正则性的条件下,给出了正倒向随机微分方程的后验估计.该后验估计表明正倒向方程解的误差可以由终端项的误差所控制, 进一步,我们基于深度神经网络提出了数值算法并对离散格式进行了收敛性分析.

光谱分析技术是分析化学中常用的方法之一,也广泛应用于中药分析等领域. 本文用函数型数据分析的方法分析光谱数据,研究针对光谱数据的异常检测方法, 挑选出异常(离群)的样本.基于现有方法, 我们提出``欧加深度检测方法''. 数值模拟结果显示,欧加深度检测方法能较好地挑选出异常情况的样本.本文将欧加深度检测方法和三种已有方法应用于分析73剂中药六混液光谱数据,结果显示, 欧加深度方法能够检测出全部6剂不合格样本, 有较好的应用前景.

在金融市场中, VaR和ES被广泛应用于资产风险度量、投资组合管理和保证金计算等方面, 是银行资本和风险监管的国际统一标准.由于VaR具有一定的局限性, 近年来,ES作为一种重要的风险度量方法深受金融机构关注. 本文基于次线性期望理论,在G-VaR的基础上, 提出了一种新的G-ES的计算方法,这种计算方法可以很自然地结合G-VaR进行回测.对于标普500指数以及沪深~300~指数数据, 与其他常用的模型, 如历史模拟,AR-GARCH模型, 基于极值理论的POT模型等进行比较,实证分析的结果表明这一新型的G-ES在不同历史数据窗口下都有着很好的表现.

概率组合方法是分析无线传感器网络(wireless sensor network, WSN)可靠性的重要方法,它能够有效处理该网络中的隔离效应和竞争失效问题. 然而,已有文献中基于概率组合方法的WSN可靠性建模和计算存在一些缺陷,导致研究结果应用范围受限甚至错误地评估WSN的可靠性.本文研究了一类典型的WSN-----具有随机依赖机制的单中继器WSN的可靠性建模与计算. 在组件局部失效和外部攻击导致全局失效的竞争失效机制下,建立了WSN更符合实际亦更严谨的可靠性模型, 基于严格的概率组合分析,呈现了系统化的可靠性计算方法和计算公式, 改进了文献中关于此类问题的研究.最后, 作为算法应用展示,我们计算了两个特殊的WSN-----身体传感网络和空气监测系统的可靠性.

本文研究了机制转换跳扩散模型下外汇挂钩的相关期权的定价问题. 在风险中性概率测度下,假设汇率服从机制转换均值回复模型、资产价格服从机制转换跳扩散模型,通过测度变换和傅里叶变换方法, 推导出了外汇挂钩相关期权的定价公式.运用快速傅里叶变换算法求得期权价值的数值解,并比较分析了不同模型以及一些重要参数对外汇挂钩相关期权价值的影响情况.

本文考虑半马氏决策过程的指数效用最优问题, 其中状态和行动空间均为Borel集, 报酬函数非负.最优准则是最大化系统无限阶段内获取总报酬指数效用的期望值. 首先,建立标准正则性条件确保状态过程非爆炸,连续--紧条件确保最优策略存在. 其次, 基于这些条件,利用值迭代和嵌入链技术,证明了值函数是相应最优方程的唯一解以及最优策略的存在性. 最后,通过实例展示了如何利用值迭代算法计算值函数和最优策略.

本文考虑了一个多部件应力--强度模型的可靠性,该模型包括一个应力和多个强度的串联系统.当应力和强度变量服从相同形状参数的威布尔分布时,推导了参数的Jeffreys先验, 并给出基于该先验时后验适当性的充要条件.利用Lindley近似和马尔可夫链蒙特卡罗方法对系统可靠性进行估计.通过蒙特卡罗仿真对所提方法进行评估. 仿真结果表明,贝叶斯方法要优于极大似然方法, 且在小样本情形下尤为突出. 最后,以实际数据集为例进行了说明.

本文讨论离散时间Geo/T-IPH/1排队,其中T-IPH表示可数状态吸收生灭链吸收时间的分布.首先对排队系统建立无限位相拟生灭过程(QBD)模型,然后通过算子几何解方法, 得到了过程联合平稳分布的解. 在此基础上,进一步得到了所研究排队系统平稳队长分布的精确解. 最后,还通过数值例子说明了分析方法的有效性.

本文主要考虑利用贝叶斯方法分析加速失效时间模型.在该模型中, 误差项的分布为未知并采用P\'{o}lya Tree分布进行逼近.本文利用贝叶斯Lasso和马尔科夫链蒙特卡罗方法对模型进行参数估计和变量选择.模拟结果显示本文提出的方法能准确识别模型中重要的影响因子并能得到准确的参数估计.本文最后利用此模型识别~II~型糖尿病人生存时间的重要风险因子.

本文基于半监督推断方法,研究了标记数据来自病例对照抽样而逻辑回归模型不正确时相关目标参数的估计问题.在二分类任务中, 常用病例对照抽样解决数据结构不平衡的问题,常用逻辑回归模型作为统计模型. 但在现实应用中,模型假设往往是错误的. 若逻辑回归模型错误,仅利用病例对照抽样获得的标记数据无法对病例比例进行识别进而无法对目标参数,即使得总体风险达到最小值的参数进行估计. 本文借助于半监督推断方法,首先利用标记数据和无标记数据得到病例比例的无偏估计, 然后基于该估计,构造逆概率加权的损失函数来纠正病例对照数据中的抽样偏差.本文证明了求解以上的损失函数得到的解是关于目标参数的相合且渐近正态的估计,并且其极限分布的方差也可以通过观察到的数据进行一致地估计. 同时,模拟研究的结果表明论文提出的方法能对目标参数给出相合的估计.

设{X,X_n,n\geq1\}是同分布的NA随机变量序列,h(\cdot)>0是定义在(0,\infty)上的不减函数且满足\int_1^\infty[th(t)]^{-1}\md t=\infty. 令\psi(t)=\int_1^t[sh(s)]^{-1}\md s,t\geq 1, S_n=\sum_{i=1}^nX_i, n\geq 1, Lt=\ln\max\{e,t\}.本文证明了\sum_{n=1}^\infty[nh(n)]^{-1}\pr(\max_{1\leq j\leq n}|S_j|\geq(1+\varepsilon)\sigma\sqrt{2nL\psi(n)})<\infty, \forall\,\varepsilon>0成立的充要条件是\ep(X)=0和\ep(X^2)=\sigma^2\in(0,\infty). 这一结果部分地推广了文献\ncite{7}的结论.

随着大数据时代的到来,在经济学、金融学和生物医学等众多研究领域中频繁收集到高维数据.高维数据的特征之一是变量维数p随着样本量~$n$~的增加而变大且通常会超过样本量, 同时, 异常值也容易出现在高维数据中. 因此,如何克服异常值给高维统计推断带来的影响, 从而得到更精确的模型,是目前统计学研究的热点问题之一.本文是对高维线性模型下的稳健变量选择方法进行综述. 具体地,
首先介绍评估稳健性的三个指标: 影响函数、崩溃点和最大偏差.其次着重介绍了稳健变量选择方法, 包括响应变量含有异常值,响应变量和协变量都含有异常值, 高崩溃点且高效的变量选择方法.紧接着介绍相关算法, 通过模拟和实例比较不同变量选择方法. 最后,简要探讨了高维稳健有效变量选择方法存在的问题及未来的可能发展方向.

精准医疗强调了正确识别异质性子群的重要性,以发展可针对每个子群的个性化治疗方案.尽管近来在子群分析的方法上取得了一些进展, 在数据存在删失时,如何有效识别子群仍然缺乏探索. 在本文中,我们提出了一种基于加速失效模型的新的子群分析方法,其中由潜在因素导致的异质性可以用特定于个体的截距项来表示.我们考虑最常见的右删失情况, 并利用平均插补法对删失数据进行处理.硬阈值惩罚函数被应用于配对截距项的成对差值,可以自动地将观察个体划分为不同的子群. 我们也建立了所提出的估计量的理论性质.模拟研究和威斯康辛乳腺癌数据集分析进一步验证了所提方法的有效性.

本文考虑一类带有移民和瞬态拯救的二次加权分枝过程.在拯救速率可和的条件下, 证明了目标过程不存在.研究拯救速率不可和的情形, 得到了过程存在性判别准则与唯一性判别准则,并针对存在性给出了便于验证的等价条件. 对于满足存在性条件的q 矩阵Q,证明可以找出无穷多个Q过程, 其中不中断Q过程却是唯一的.讨论了不中断Q过程的构造方式, 证明了不中断Q过程是遍历的,且给出了平稳分布满足的二阶微分方程.

成分正交表是适用于添加顺序实验的一种有效的设计方法.本文利用首列相同的正交拉丁方构造出了因子个数为素数幂时的成分正交表,并在此基础上构造出了因子数可取任意正整数的成分正交表.所得设计的一些优良投影性质也得到了证明.

简单随机抽样, 包括有无放回两种形式,是最基础的抽样设计. 本文基于``虚拟普查''想法,对简单估计量的抽样方差给出了新的计算思路,并揭示了有无放回简单随机抽样之间的内在联系.``虚拟普查''想法的核心在于虚拟普查矩阵.该矩阵记录了逐一抽取的无放回简单随机抽样,假设拓展为普查时-----``虚拟普查''~名称的由来,所有总体单元的入样轨迹. 论文构建的``虚拟普查''技术框架,可以看作已有对称化论证方法和以入样指示变量为工具的论证方法的融合,对增进理解传统抽样策略, 看起来具有潜在价值. 作为示例,论文针对实践中常用的两个抽样策略, 有放回不等概抽样和自适应整群抽样,给出了基于简单随机抽样的解读视角.

年金的精算与利率模型密切相关. 标准型年金中,每期的利率是一个固定的常数值. 在实际中, 每期的利率可以是变化的,甚至是一个随机变量. 这些随机变量组成一个利率随机过程. 许多情形下,利率随机过程是马尔可夫过程. 本文在马尔可夫随机利率模型下研究年金的精算.证明了利率过程是时齐马尔可夫链时其折现过程也是时齐马尔可夫链,且与利率马尔可夫链过程具有``相同的''~初始分布和一步转移概率矩阵.借助利率折现过程, 计算了马尔可夫随机利率模型下年金现值的期望和方差.引进了年金多项式和一些算子以及年金的算子多项式,使得年金现值的期望和方差表达式非常简洁, 且易于编程计算.

对常利率下保费收入为复合Poisson过程风险模型的分红问题进行研究, 得到了直至破产时累积分红现值的期望、n阶矩及矩母函数满足的积分--微分方程及指数保费和指数索赔下的具体表达式.并给出数值算例, 分析了初始资本u、红利界限b及投资利率r对累积分红期望现值的影响.