1.   引言

人口老龄化是当今各个国家普遍存在的一个严峻问题, 为了解决养老难题, 国家采取了养老保险金制度来应对, 这项制度的推出, 给保险市场带来了新的机遇和挑战, 慢慢的一些新兴的商业养老保险产品推向了市场, 在一定程度上缓解了养老问题. 在早期的保险市场中, 固定年金得到了很多人的推崇, 但该年金获取到的收益较低, 很难对冲通货膨胀带来的风险, 因此变额年金就这样逐渐发展了起来. 变额年金具有年金给付、最低利益保证、一定投资收益的特点, 同时还可以对抗通货膨胀, 因此很多发达国家将变额年金产品作为寿险产品的主流产品. 变额年金的投资保障机制可以简单描述为当经济走势良好时, 投保人有机会在良好的经济环境下投资资产获取一定的收益来抵消通货膨胀的影响, 另一方面, 当经济走势下跌时, 可以根据合约获得最低的收益来避免造成更大的损失.

本文的研究对象是变额年金产品中的最低身故利益保障(GMDB)寿险产品, 该产品是在被保险人死亡时, 提供保证最低水平的死亡抚恤金. 在目前的文献中, 关于GMDB的研究主要体现在对它的估值, 或者等效定价方面. 由于GMDB产品可以被看作金融衍生产品, 因此期权定价理论可以在其定价问题中得到很好的应用. GMDB合约的终止是由被保险人的死亡时间决定, 与资产是随机且独立的, 这使得GMDB产品的支付结构介于欧式期权和美式期权之间.

本节将考虑身故利益取决于两种股票价格（或共同基金）过程, 将风险资产的动态价格过程建模为二维指数Lévy过程$ \{S_1(t), S_2(t)\}_{t\geq0} $, 其中

$ (X_1(t), X_2(t)) $是一个二维的Lévy过程, 且满足$ X_1(0)=X_2(0)=0 $, 特征指数定义为

对于现在年龄为$ x $的人, 用$ T_x $表示其剩余寿命, 并假定$ T_x $独立于$ S_1(t) $和$ S_2(t) $, 在该种2D-GMDB产品下, 保证被保险人死亡时向收益人支付$ b(S_1(T_x), S_2(T_x)) $, 其中$ b(\cdot) $表示为与股票价值相关的死亡福利函数. 对于一个常利率$ \delta\geq0 $, 我们主要目的是计算风险中性测度下2D-GMDB产品的支付价格, 即

若只有在被保险人的死亡发生在一个预先指定的时间$ T $之前时才支付死亡赔偿金, 我们可以对式(2)进行修改, 通过考虑到期日$ T $, 有

其中$ \textbf{1}(A) $表示事件$ A $的示性函数.

近年来, 对GMDB产品的定价引发了很多学者的关注, 主要研究该产品的定价问题、对冲问题以及各种风险等. 在对变额年金的研究中, Brennan和Schwartz^[1]在Black-Scholes模型下首先研究了涉及一定利益保证的投资连结型产品的定价问题, 提出了确定买入看涨期权价值的数值计算方法, 并推导出保单发行人应该遵循的风险最小化投资策略. Bauer等^[2]提出了在变额年金中提供任何期权都可以建模的通用定价框架, 并且他们的模型倾向于低估期权的价值. 在对GMDB产品的定价中, 当风险资产的动态价格过程为几何布朗运动时, Milevsky和Posner^[3]利用风险中性期权定价理论来计算GMDB, 此外他们还根据Gompertz-Makeham定律进行了数值研究. Gerber等^[4]提出了一种在几何布朗运动中为GMDB产品定价的密度函数折现方法, 并推出了各种支付下GMDB合约的显式估计表达式, 其结果被Gerber等^[5]从几何布朗运动推广到跳扩散过程, 即一个布朗运动加上一个独立的复合泊松过程. 由于GMDB与被保险人在保单存续期间是否身故有关, 因此从被保险人剩余寿命的角度出发, Gerber等^[4]将剩余寿命的密度函数假定为联合指数的形式; Ulm^[6]以及Ulm^[7]研究了更多的死亡率假设下GMDB产品的支付特性, 比如De Moivre和Makeham死亡率假设; Liang等^[8]引入了分段常数死亡率来描述剩余寿命, 即根据经验生命表, 对照死亡率来计算剩余寿命, 给出了GMDB的显式估值表达式.

目前, 很多的学者研究运用函数逼近的方法对金融产品进行定价, 较为常见的方法有傅里叶余弦级数展开方法(COS)、框架投影方法(PROJ)、香农小波方法、复傅里叶级数展开方法(CFS)等(具体的方法可以参考Kirkby^[9], Fang和Oosterlee^[10], Ortiz-Gracia和Oosterlee^[11]等文献). Ruijter和Oosterlee^[12]将COS方法扩展到二维的情况下. 在对GMDB这类产品的定价中, Yu等^[13]在风险中性的框架下使用COS方法对GMDB产品定价, 其主要思想是用COS方法逼近折现密度函数, 同时, 他们还考虑了二维的情形. Zhang等^[14]将投影方法和傅里叶变换(FFT) 相结合, 引入B样条函数和其它辅助函数进行级数展开, 并利用FFT计算投影系数, 进一步估计出GMDB的价格. Chan^[15], Chan^[16]在期权定价应用了CFS方法, 该方法较之FFT方法拥有更高的精度以及较低的计算成本, 并且在处理具有长到期时间的期权时比COS方法更加敏感. 张博和张志民^[17]应用了CFS方法对一维的GMDB产品进行定价，同时与COS方法和蒙特卡罗方法进行了比较, 说明了CFS方法对一维的GMDB产品定价具有一定的优越性. 在本文中, 我们在张博和张志民^[]的基础上, 将一维复傅里叶级数展开方法推广到推广到二维的情形, 即考虑二维复傅里叶级(2D-CFS) 数展开方法对GMDB产品进行定价.

本文将风险资产的动态价格过程建模为指数Lévy过程, 考虑在两种对数资产的影响下GMDB产品的定价问题(2D-GMDB), 利用二维复傅里叶级数展开(2D-CFS)方法逼近辅助函数, 对数资产模型的选择采用了几何布朗运动(GBM) 和跳扩散过程(Jump). 同时对于剩余寿命的密度函数选择, 考虑了联合指数密度函数和分段常数死亡率这两种形式. 注意到大多数期权等金融产品都有一个有限的到期日, 对于GMDB产品也不例外, 因此本文还将考虑被保险人的死亡发生在一个预先指定的时间之前时才支付死亡赔偿金. 同时本文在数值实验部分还将与二维余弦级数展开(2D-COS)方法进行比对, 从而验证方法的正确性.

本文由以下几个部分组成: 第2节主要介绍2D-CFS的相关概念和适用条件, 以及积分截断区间的选取方法; 第3节介绍了两种对剩余寿命表示的方法, 分别是联合指数密度函数和分段常数死亡率方法; 第4节给出了对数资产过程描述为GBM模型和Jump模型, 支付函数采用交换期权、最大期权、最小期权以及几何期权形式下GMDB产品估值的显示表达式; 第5节是数值实验部分, 通过与2D-COS方法进行比较来验证其可靠性; 第6节对文章进行了总结.

2.   理论介绍

2.1   2D-CFS方法的介绍

本节将对2D-CFS方法进行介绍, 假定函数$ f(x, y) $是定义在一个矩形区域$ D=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $上的二元函数, 若满足条件:

$ (1) $在$ D $上偏导数$ f_x^{'} $和$ f_y^{'} $处处存在并且有界; $ (2) $在$ D $的每个内点$ (x_0, y_0) $的某个邻域内, 二阶偏导数$ f_{xy}^{''} $(或$ f_{yx}^{''} $)存在且连续,

那么$ f(x, y) $可以展开为二维复傅里叶级数, 得到

其中$ \mathcal{R}e(\cdot) $表示对括号内取实部, $ C_{k_1, k_2}(f) $为级数系数, 表示为

进一步对式$ (4) $进行级数截断, 即对于两个较大的整数$ N_1 $和$ N_2 $, 我们有

我们利用2D-CFS方法对二元正态分布进行模拟, 以此来检验该方法的可行性. 假设随机变量$ (X, Y)\sim N(\mu_1, \mu_2;\sigma_1^2, \sigma_2^2;\rho) $, 其中$ \mu_1 $和$ \sigma_1^2 $分别为随机变量$ X $的均值和方差, $ \mu_2 $和$ \sigma_2^2 $分别为随机变量$ Y $的均值和方差, $ \rho $表示$ X $和$ Y $的相关系数, 且$ \mu_1 $, $ \mu_2 $, $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $, $ \rho $均为常数, 满足$ \sigma_1>0 $, $ \sigma_2>0 $, $ |\rho|<1 $. 定义矩阵$ \mathbf{\mu}=[\mu_1, \mu_2]^{'} $, 矩阵$ \mathit{\boldsymbol{\Sigma}} $中的元素满足$ \Sigma_{ij}=\sigma_i\sigma_j\rho $, $ i, j=1, 2 $. 假设二元正态分布的密度函数为$ f(x, y) $, 定义其特征函数为$ \Phi_{X, Y}(\mathbf{\omega})=\mathrm{E}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_1X+\mathrm{i}\omega_2Y}\right]=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{\omega}^{'}\mathbf{\mu}-1/2\mathbf{\omega}^{'}\mathbf{\omega}} $, 其中$ \mathbf{\omega}=[\omega_1, \omega_2]^{'} $. 利用式(5)对二元正态分布的密度函数$ f(x, y) $进行估计, 其系数$ C_{k_1, k_2}(f) $可以如下计算

其中式(6)到式(7)是将区间$ [a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $拓展到实数空间$ \mathbb{R}^2 $上, 其中参数$ a_1 $, $ b_1 $, $ a_2 $, $ b_2 $的选择, 参考利用2.2小节中的累积量生成函数来计算.

计算出级数系数$ C_{k_1, k_2}(f) $后, 将其带入式(5)中就可以得到正态分布的1D-CFS估计式. 我们选取参数$ \mu_1=0 $, $ \sigma_1^2=1 $, $ \mu_2=0 $, $ \sigma_2^2=1 $, $ \rho=0.5 $, $ N=2^8 $对二元标准正态分布进行模拟, 为了更好地展示图片效果, 我们仅仅展示了在区间$ [-3, 3]\times[-3, 3] $上的拟合结果(其余结果更接近于0, 波动起伏变化不大), 得到结果如图 1所示, 其中左边的图形是通过2D-CFS方法模拟出来的, 右边是真值绘画的图形, 通过观察发现两者相差不大. 效果较好, 为了更好的说明模拟结果, 我们对其进行绝对误差, 即模拟结果和真值做差, 由此绘画出了图 2, 从图中可以看出两者之间误差值的数量级达到了$ 10^{-16} $, 也充分说明了2D-CFS方法的可靠性.

图  1  二元标准正态分布模拟图

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图  2  绝对误差

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利用2D-CFS方法的关键在于: 在计算级数系数时, 对于区间, 当其足够大时, 我们将可以用无穷区间来估计, 进一步可以利用二元函数的特征指数来计算相应的数值; 在对展开项求和时, 选取的截断系数越大, 截断所产生的误差也会越小, 对截断系数的选取, 本文的数值实验中展示了随着截断系数增大误差的变化情况, 进一步验证了这种估计方法的可行性. 2D-CFS方法应用在当GMDB产品有两个对数资产的情形中, 选取的期权可以是交换期权、最大期权、最小期权以及几何期权.

2.2   截断区间的介绍

在2D-CFS方法中, 我们在一个有限区间内进行积分运算. 对于这个有限区间的选取, 很多学者也做了相应的研究, 一般做法是采用累积量生成函数来计算该区间. 区间的选取会直接影响到计算结果的精度, 若区间选择过小, 则计算结果误差会很大, 若区间选择过大, 则为了达到一个更高的精度会使级数展开项数增多. 为了选取一个合适的积分区间, 本文借鉴了Fang和Oosterlee^[10]和Ruijter和Oosterlee^[12]的文章中采用的累积量生成函数的方法, 并在其基础上对其进行修改计算. 下面我们先将对使用累积量生成函数计算出的结果进行介绍, 本文采用的方法将在数值实验部分简单介绍.

定义 1    假设随机变量$ X $的特征函数为$ \Phi_X(s)=\mathrm{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}sX}] $, 定义该随机变量的累积量生成函数为

则$ X $的第$ j $个累积量定义为$ g(s) $在$ 0 $处的第$ j $阶导数值, 即

在二维的情况下对于区间$ [a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $的选取方法, 取$ a_1=a_2=a $, $ b_1=b_2=b $, 其中

$ \xi_j^i $表示随机过程$ X_i(t) $的第$ j $个累积量, 则根据累积量的计算, 我们可以得到截断区间$ [a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $, 进一步对积分进行计算.

3.   计算方法

3.1   基于2D-CFS方法的计算过程

在这一小节中, 我们将利用2D-CFS方法估计式(2) 和式(3)中的$ \bar{V}_x $和$ \bar{V}_{x, T} $. 令$ f_{T_x}(\cdot) $表示$ T_x $的概率密度函数, $ f_{X_1(t), X_2(t)}(x, y) $表示$ (X_1(t), X_2(t)) $的联合概率密度函数, 且$ t>0 $. 在$ \delta>0 $下, 我们定义没有时间限制和有时间$ T $限制的折旧密度函数分别为

对于$ \bar{V}_x $的计算, 我们通过交换积分的顺序, 有

同理可得

为了方便计算, 我们将构造辅助函数为

假定$ g_{m, n}^{\delta} $和$ g_{m, n, T}^{\delta} $是绝对可积的, 则根据式(5), 有

以下对式(8)和(9)的级数系数进行计算, 有

将区间$ [a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $拓展到区域$ \mathbb{R}^2 $上, 并利用式(1)中$ (X_1(t), X_2(t)) $的特征指数, 则级数系数可以估计为

同理, 对于有时间T限制的级数系数, 有

从式(10)和(11)中可以看出系数的计算与剩余寿命密度函数$ f_{T_x}(t) $的形式有关. 以下两个小节, 我们将讨论当剩余寿命密度函数分别采用联合指数形式和分段常数形式时, 级数系数的不同表达式.

3.2   联合指数密度函数

受到Siu等^[18]的启发，本小节假定剩余寿命服从联合指数密度函数, 即

其中$ \alpha_j>0 $, 且$ \sum_{j=1}^hA_j=1 $, 此时级数系数可化简为

同理, 有

3.3   分段常数死亡率

一些研究人员在进行死亡率建模或者评估各种与死亡率相关的保险金融产品的应用中, 通常会采用分段常数死亡率的假设. 具有分段常数死亡率的模型通常称为分段指数模型, 该模型对于生存数据的建模简单而有效, 并且经常作为与其他统计模型比较的基准, 可以参考Brouhns等^[19]等文献. 分段常数死亡率(piecewise constant forces mortality, 记作PCFM), 本文中也将探讨在这种情况下级数系数的计算. 本小节参考文献[8] 中的假设, 对于分段后的每一段的年龄, 均假设为UDD (uniform distribution of deaths)的形式, 即每一段均假设为均匀分布. 在一个生命表中, $ x $表示年龄, 即$ x\in\mathbb{N}_0:=\{0, 1, 2, \cdots\} $, 我们可以用年龄在$ x+t(t\geq0) $时的死亡率表示$ f_{T_x} $.定义死亡率

其中$ _tp_x=\mathrm{P}(T_x>t) $为生存函数. 在分段常数死亡率的假设下, 对于$ x\in\mathbb{N}_0 $和$ 0\leq t<1 $有

通过推断, 得到$ \mu_x=m_x=-\ln(p_x) $, 其中$ m_x $和$ p_x $分别表示中心死亡率和在区间$ [x, x+1) $内的生存概率, 其数据可从生命表中获得, 因此通过生命表就可获得$ \mu_x $的值. 生存函数进一步可表示为

得到生存函数后, 再通过式(12), 就可以推出$ T_x $的密度函数, 即

令$ \sum_{j = 0}^{-1} \cdot =0 $. 将密度函数$ f_{T_x}(t) $的表达式带入级数系数的计算中, 有

其中$ t\in[s, s+1) $. 对于有到期日$ T $的合约, 类似地有

其中$ \left\lfloor T\right\rfloor $表示向下取整数.

4.   $ \bar{V}_X $和$ \bar{V}_{X, T} $的计算

在本节中, 我们将研究两资产期权价格的近似估计值, 比如考虑交换期权、最大期权、最小期权以及几何期权.

4.1   交换期权

首先我们考虑交换期权, 其支付函数为

因此, 可以得到

其中$ \mathcal{D}_1 $代表区域$ \left\{(x-y)>\ln\frac{S_2(0)}{S_1(0)}\right\} $. 令$ \mathcal{D}_1'=\mathcal{D}_1\cap([a_1, b_1]\times[a_2, b_2]) $, 根据式(8)可得

同理有

以下对积分进行计算, 积分区域如图 3所示, 则有

图  3  交换期权积分区域

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其中$ K_1=\frac{\mathrm{i}2\pi k_1}{b_1-a_1} $, $ K_2=\frac{\mathrm{i}2\pi k_2}{b_2-a_2} $, 在式(16)中存在$ k_1 $或$ k_2 $等于0的特殊情况, 因此我们需要对特殊情况进行讨论.

$ (1) $当$ k_1\neq0, k_2=0 $时,

$ (2) $当$ k_1=0, k_2\neq0 $时,

$ (3) $当$ k_1+k_2=0 $时,

$ (4) $当$ k_1=k_2=0 $时,

4.2   最大期权和最小期权

下面我们将考虑最大期权和最小期权的定价, 它们的支付函数分别为

对其进行处理, 可转换为以下形式

因此对上式左右两边同时取折旧期望, 可以得到

在交换期权中, 我们已经对$ \mathrm{E}\bigl[\mathrm{e}^{-\delta T_x}[S_1(T_x)-S_2(T_x)]_+\bigr] $进行了计算, 因此为了计算最大期权和最小期权, 我们仅需计算$ \mathrm{E}\bigl[\mathrm{e}^{-\delta T_x}S_2(T_x)\bigr] $和$ \mathrm{E}\bigl[\mathrm{e}^{-\delta T_x}S_1(T_x)\bigr] $.

对于最大期权, 选取区间$ [a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $近似$ \mathbb{R}^2 $, 并对辅助函数进行2D-CFS估计, 并对级数项进行截断, 可得

而对于最小期权, 则有

同理对于有到期日$ T $的合约, 分别有最大期权

和最小期权

以下我们将式(17)和(18)中的积分进行计算, 得到

同理, 我们将对$ k_1 $和$ k_2 $的取值进行讨论.

$ (1) $当$ k_1\neq0, k_2=0 $时,

$ (2) $当$ k_1=0, k_2\neq0 $时,

$ (3) $当$ k_1=k_2=0 $时,

4.3   几何期权

最后我们考虑几何期权, 其支付函数与执行价格$ K $有关, 为

在$ \sqrt{S_1(0)S_2(0)}<K $条件下, 我们有

其中$ \mathcal{D}_2 $代表区域$ \bigl\{(x, y):x+y>\ln\frac{K^2}{S_1(0)S_2(0)}\bigr\} $. 令$ \mathcal{D}_2'=\mathcal{D}_2\cap([a_1, b_1]\times[a_2, b_2]) $, 根据式(8)可得

同理有

以下对积分$ \mathop{\int\int}\limits_{(x, y)\in\mathcal{D}_2'}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2\pi k_1x}{b_1-a_1}+\frac{\mathrm{i}2\pi k_2y}{b_2-a_2}}\, {\mathrm{d}}x\, {\mathrm{d}}y $进行计算, 积分区间如图 4所示, 有

图  4  几何期权积分区域

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对$ k_1 $和$ k_2 $的取值进行讨论.

$ (1) $当$ k_1\neq0, k_2=0 $时,

$ (2) $当$ k_1=0, k_2\neq0 $时,

$ (3) $当$ k_1=k_2\neq0 $时,

$ (4) $当$ k_1=k_2=0 $时,

5.   数值计算

本节模拟了剩余寿命密度函数采用联合指数密度函数和分段常数死亡率假设下对$ \bar{V}_x $和$ \bar{V}_{x, T} $的2D-CFS估计, 并与2D-COS方法进行了比较. 两种剩余寿命密度函数分布假设如下:

$ (1) $联合指数密度函数: 密度函数$ f_{T_x} $具有以下形式

其中参数选择来自于文献[4].

$ (2) $分段常数死亡率: 选取中国保监会颁布的《中国人身保险业经验生命表(2010—2013)》中非养老类业务一表男性死亡率$ m_x $的数据, 并且当前年龄为$ x=30 $, 合约到期时间为$ T=40 $.

考虑两种对数资产过程来模拟股票资产价格:

$ (1) $几何布朗运动(geometric Brownian motions, 记作GBM): 在GBM风险中性资产价格根据以下动态变化:

其中相关性为$ \, {\mathrm{d}}Z_i(t)\, {\mathrm{d}}Z_j(t)=\rho_{ij}\, {\mathrm{d}}t $, $ r $为无风险利率, $ \delta_i $为股息率, $ \sigma_i $为资产$ i $的波动率, 我们将其转化为对数资产过程$ X_i(t)=\ln S_i(t) $, 则有

并假设对数资产价格在时间$ t $时服从二元正态分布, 即

其中$ \mathbf{\mu}=[\mu_1, \mu_2]^{'} $, 且$ \mu_i=r-\delta_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2(i=1, 2) $, 协方差矩阵$ \mathit{\boldsymbol{\Sigma}}=(\Sigma_{ij}) $, 且$ \Sigma_{ij}=\sigma_i\sigma_j\rho_{ij} $, 则$ (X_1(t), X_2(t)) $的特征指数定义为

其中$ \mathbf{u}=[x, y]^{'} $.

$ (2) $跳扩散过程(jump-diffusion process, 记作Jump): 在跳扩散模型下, 资产价格过程服从

其中$ \kappa_i:=\mathrm{E}[\mathrm{e}^{J_i}-1] $, $ q_t $为泊松过程, 参数为$ \lambda $, $ \mathbf{J}=(J_1, J_2) $表示跳跃的二元正态分布, 均值为$ \mathbf{\mu}^J=[\mu_1^J, \mu_2^J]^{'} $, 相应的协方差矩阵为$ \Sigma_{ij}^J=\sigma_i^J\sigma_j^J\rho_{ij}^J $. 对数资产过程$ X_i(t)=\ln S_i(t) $, 有

则$ (X_1(t), X_2(t)) $的特征指数定义为

其中协方差矩阵$ \Sigma_{ij}=\sigma_i\sigma_j\rho_{ij} $, $ \mathbf{u}=[x, y]^{'} $.

本节对于截断区间$ [a_1, b_1]\times[a_2, b_2] $的选取, 参考第2.2小节中介绍的方法, 在其基础上加以改进, 我们分别就剩余寿命$ T_x $采用联合指数密度函数形式与分段常数死亡率形式的截断参数进行介绍.

当剩余寿命采用联合指数密度函数时, 根据级数系数的形式, 定义函数$ H(\omega_1, \omega_2, m, n) $和$ H_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $, 其中下标$ T $表示具有到期日$ T $的限制, 两者分别表示为

在其基础上, 我们定义了新的函数$ G(\omega_1, \omega_2, m, n):=\ln H(\omega_1, \omega_2, m, n) $和$ G_T(\omega_1, \omega_2, m, n):=H_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $, 取$ a_1=a_2=a $, $ b_1=b_2=b $, 令

其中$ \zeta_j^1(m, n) $, $ (j=1, 2, 4) $定义为$ G(\omega_1, \omega_2, m, n) $或$ G_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $对$ \omega_1 $在$ \omega_1=0 $, $ \omega_2=0 $处的第$ j $阶偏导数值, 即

$ \zeta_1^1=G_{\omega_1}^{'}(0, 0, m, n) $, $ \zeta_2^1=G_{\omega_1\omega_1}^{''}(0, 0, m, n) $, $ \zeta_4^1=G_{\omega_1\omega_1\omega_1\omega_1}^{(4)}(0, 0, m, n) $或$ \zeta_1^1=G_{T_{\omega_1}}^{'}(0, 0, m, n) $, $ \zeta_2^1=G_{T_{\omega_1\omega_1}}^{''}(0, 0, m, n) $, $ \zeta_4^1=G_{T_{\omega_1\omega_1\omega_1\omega_1}}^{(4)}(0, 0, m, n) $. $ \zeta_j^2(m, n) $, $ (j=1, 2, 4) $定义为$ G(\omega_1, \omega_2, m, n) $或$ G_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $对$ \omega_2 $在$ \omega_1=0 $, $ \omega_2=0 $处的第$ j $阶偏导数值, 其中参数$ m $, $ n $应该根据对应计算的期权形式来选择赋值.

当剩余寿命$ T_x $采用分段常数死亡率时, 同样我们依据级数系数的形式定义$ \bar{H}(\omega_1, \omega_2, m, n) $和$ \bar{H}_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $, 带有下标$ T $的函数表示的是在具有到期日$ T $的条件下进行计算, 两者分别表示为

同样我们定义了新的函数$ \bar{G}(\omega_1, \omega_2, m, n):=\ln\bar{H}(\omega_1, \omega_2, m, n) $与$ \bar{G}_T(\omega_1, \omega_2, m, n):=\ln\bar{H}_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $, 取$ a_1=a_2=a $, $ b_1=b_2=b $, 令

其中$ \bar{\zeta}_j^1(m, n) $, $ (j=1, 2, 4) $定义为$ \bar{G}(\omega_1, \omega_2, m, n) $或$ \bar{G}_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $对$ \omega_1 $在$ \omega_1=0 $, $ \omega_2=0 $处的第$ j $阶偏导数值. $ \bar{\zeta}_j^2(m, n) $, $ (j=1, 2, 4) $定义为$ \bar{G}(\omega_1, \omega_2, m, n) $或$ \bar{G}_T(\omega_1, \omega_2, m, n) $对$ \omega_2 $在$ \omega_1=0 $, $ \omega_2=0 $处的第$ j $阶偏导数值, 其中参数$ m $, $ n $应该依据对应计算的期权形式来选择赋值.

在GBM模型和Jump模型中, 我们选择参数设置如表 1:

表  1  对数资产过程的参数设置

模型	参数设置
GBM	$\begin{gathered} \left(S_1(0), S_2(0)\right)=(90, 100), K=95, \mu=[0.05, 0.02]^{\prime}, \\ =[0.04, 0.015 ; 0.015, 0.09], \delta=0.05, r=0.05 \\ \left(S_1(0), S_2(0)\right)=(90, 100), K=95, r=0.05, \delta=0.05, \sigma=[0.12, 0.15], \end{gathered} $
Jump	$\rho=[1, 0.3 ; 0.3, 1], \lambda=0.6, \mu^J=[-0.1, 0.1]^{\prime}, \sigma^J=[0.17, 0.13], \rho^J=[1, -0.2 ;-0.2, 1] $

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表 2给出了对数资产模型为GBM模型、的密度函数为联合指数形式下, 期权类型分别为交换期权、几何期权、最大期权以及最小期权的2D-GMDB产品的估计价格, 几何期权中的执行价格$ K $选取$ 95 $. 我们分别用2D-CFS和2D-COS这两种方法来估计2D-GMDB产品的价格, 并与参考真值做相对误差, 其中参考值是依据文献[4]来确定, 以下结果均保留小数点后4位有效数字. 在这四种期权中, 我们选择$ T=\infty $, 通过改变级数项$ N=N_1=N_2=2^6, 2^8, 2^{10} $, 可以发现随着级数项数的增加, 2D-CFS方法与真值之间的相对误差越来越小, 并且在$ N=2^{10} $时, 这四种期权的相对误差范围在$ 10^{-9}\sim10^{-10} $之间, 同时与2D-COS方法进行比较, 发现在相同级数项下, 2D-CFS方法的相对误差要远小于2D-COS, 同时也说明2D-CFS方法精确度更高.

表  2  2D-GMDB的估计结果; GBM模型; 联合指数密度函数

类型	参考值	2D-CFS			2D-COS
		$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $	$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $
交换期权	77.3715	3.4836E-04	1.7217E-07	1.2764E-09	7.5924E-03	8.2151E-06	1.0545E-08
几何期权	67.5814	7.1319E-06	2.1567E-08	6.3450E-10	2.9519E-04	5.5832E-07	5.6312E-10
最大期权	218.0308	1.2362E-04	6.1098E-08	4.5297E-10	2.6943E-03	2.9149E-06	3.7421E-09
最小期权	66.6285	4.0453E-04	1.9993E-07	1.4823E-09	8.8165E-03	9.5385E-06	1.2245E-08

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表 3中给出了对数资产模型为GBM模型、$ T_x $的密度函数为分段常数死亡率形式下交换期权、几何期权、最大期权以及最小期权的2D-GMDB产品的估计价格, 几何期权中的执行价格$ K $选取$ 95 $。我们计算出2D-COS在级数项$ N=N_1=N_2=2^{12} $下的估值结果作为参考值, 并将2D-CFS与2D-COS这两种方法在级数项数取值为计算出来的结果与参考值做相对误差, 其中括号中的数值表示相对误差值. 在这四种期权中, 均选择$ T=40 $, 可以发现随着级数项数的增加, 2D-CFS方法相对误差越来越小, 并且在$ N=2^{10} $时, 这四种期权的相对误差范围数量级在$ 10^{-9} $, 同时与2D-COS方法相比, 在相同级数项数的条件下, 2D-CFS方法计算出来的结果精度明显优于2D-COS方法, 从侧面也可以说明该方法具有一定的可靠性.

表  3  2D-GMDB的估计结果; GBM模型; 分段常数死亡率

类型	参考值	2D-CFS			2D-COS
		$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $	$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $
交换期权	20.8235	20.8233	20.8235	20.8235	20.8209	20.8235	20.8235
		(9.9316E-06)	(2.0919E-07)	(3.7902E-09)	(1.2550E-04)	(7.3839E-07)	(1.3749E-08)
几何期权	17.8331	17.8331	17.8331	17.8331	17.8324	17.8331	17.8331
		(5.6460E-06)	(7.9943E-08)	(1.1136E-09)	(3.8945E-05)	(6.5531E-07)	(1.0090E-08)
最大期权	52.9763	52.9761	52.9763	52.9763	52.9736	52.9763	52.9763
		(3.9039E-06)	(8.2227E-08)	(1.4898E-09)	(4.9329E-05)	(2.9024E-07)	(5.4044E-09)
最小期权	12.9105	12.9107	12.9105	12.9105	12.9131	12.9104	12.9105
		(1.6019E-05)	(3.3741E-07)	(6.1133E-09)	(2.0241E-04)	(1.1910E-06)	(2.2176E-08)

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表 4结果表示为对数资产模型是Jump模型, $ T_x $的密度函数为联合指数形式下交换期权、几何期权、最大期权以及最小期权的2D-GMDB产品的估计价格, 几何期权中的执行价格$ K $选取为$ 95 $. 我们选择2D-COS在级数项$ N=N_1=N_2=2^{12} $下的估值结果作为参考值, 将2D-CFS和2D-COS这两种方法计算出来的结果与参考值做相对误差, 其中括号中的数值表示相对误差值. 在这四种期权中, 固定$ T=\infty $, 通过改变级数项$ N=2^6, 2^8, 2^{10} $, 可以发现随着级数项数的增加, 这两种方法的相对误差均越来越小, 且在同一级数项数条件下, 2D-CFS方法的结果更具有优势.

表  4  2D-GMDB的估计结果; Jump模型; 联合指数密度函数

类型	参考值	2D-CFS			2D-COS
		$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $	$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $
交换期权	37.6609	37.6536	37.6609	37.6609	37.5691	37.6605	37.6609
		1.9270E-04	7.2857E-07	1.6937E-09	2.4354E-03	-1.0401E-05	-2.3738E-08
几何期权	37.8975	37.8973	37.8975	37.8975	37.8883	37.8974	37.8975
		(1.2187E-05)	(2.2170E-08）	(1.1010E-09)	(2.4266E-04)	(7.1897E-07)	(7.9879E-10)
最大期权	137.6609	137.6536	137.6609	137.6609	137.5691	137.6605	137.6609
		(5.2717E-05)	(1.9932E-07)	(4.6336E-10)	(6.6672E-04)	(2.8456E-06)	(6.4943E-09)
最小期权	52.3391	52.3464	52.3391	52.3391	52.4309	52.3395	52.3391
		(1.3866E-04)	(5.2425E-07)	(1.2187E-09)	(1.7494E-03)	(7.4843E-06)	(1.7081E-08)

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表 5表示为对数资产模型是Jump模型, $ T_x $的密度函数为分段常数死亡率形式下交换期权、几何期权、最大期权以及最小期权的2D-GMDB产品的估计价格, 几何期权中的执行价格$ K $选取$ 95 $, 到期日$ T=40 $. 我们假定2D-COS在级数项$ N=N_1=N_2=2^{12} $下的估值结果作为比较的参考值, 分别计算2D-CFS方法与2D-COS方法在级数项数$ N=2^6, 2^8, 2^{10} $时的结果, 并与参考值做相对误差, 可以发现随着级数项数的增加, 这两种方法的相对误差均越来越小, 并且在$ N=2^{10} $时, 2D-CFS方法计算的这四种期权的相对误差范围数量级在$ 10^{-8}\sim10^{-9} $, 精度较高. 在同一级数项数的条件下对这两种方法进行比较, 可以发现2D-CFS方法的精度均优于2D-COS方法.

表  5  2D-GMDB的估计结果; Jump模型; 分段常数死亡率

类型	参考值	2D-CFS			2D-COS
		$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $	$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $
交换期权	9.6696	9.6693	9.6696	9.6696	9.6679	9.6697	9.6696
		(2.9567E-05)	(6.6815E-07)	(1.2458E-08)	(1.8215E-04)	(5.0826E-06)	(3.4095E-08)
几何期权	9.5534	9.5533	9.5534	9.5534	9.5526	9.5534	9.5534
		(8.0344E-06)	(1.6215E-07)	(2.2378E-09)	(5.6918E-05)	(1.2765E-06)	(2.0392E-08)
最大期权	30.1957	30.1954	30.1957	30.1957	30.1939	30.1957	30.1957
		(9.4683E-06)	(2.1396E-07)	(3.9894E-09)	(5.8324E-05)	(1.6276E-06)	(1.0918E-08)
最小期权	8.8038	8.8041	8.8038	8.8038	8.8056	8.8038	8.8038
		(3.2475E-05)	(7.3385E-07)	(1.3683E-08)	(1.9999E-04)	(5.5825E-06)	(3.7448E-08)

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在之前的研究结果中, 我们仅仅考虑了在剩余寿命$ T_x $密度函数服从分段常数死亡率下到期日具有一定的时间限制, 下面我们将研究当剩余寿命$ T_x $密度函数服从联合指数密度函数下到期日具有时间限制的情形. 在表 6和表 7中, 我们分别研究了对数资产过程为GBM模型和Jump模型下交换期权、几何期权、最大期权和最小期权这四种期权的定价问题, 这两种模型均选取到期日$ T=30 $, 并将2D-COS在级数项数$ N=N_1=N_2=2^{12} $下的值作为参考值, 同样计算2D-CFS方法和2D-COS方法在$ N=2^6, 2^8, 2^{10} $下的结果, 并与参考值做相对误差. 从表 6和 表 7中均可以看出, 随着级数项数$ N $的增大, 这两种方法的相对误差值均越来越小, 且当$ N=2^{10} $时, 在GBM模型下2D-CFS方法的误差结果可以达到$ 10^{-11}\sim10^{-12} $，优于2D-COS方法的误差结果($ 10^{-10}\sim10^{-11} $)，在Jump模型下2D-CFS方法的误差结果可以达到$ 10^{-12} $, 2D-COS方法的误差结果达到$ 10^{-9}\sim10^{-10} $.

表  6  2D-GMDB的估计结果; GBM模型; 联合指数密度函数; T = 30

类型	参考值	2D-CFS			2D-COS
		$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $	$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $
交换期权	41.8224	41.8221	41.8224	41.8224	41.8096	41.8824	41.8224
		(6.4262E-06)	(3.1258E-10)	(1.2794E-11)	(3.0644E-04)	(2.6150E-07)	(4.4113E-10)
几何期权	44.4473	44.4471	44.4473	44.4473	44.4452	44.4473	44.4473
		(2.8793E-06)	(1.9823E-09)	(1.3320E-12)	(4.5784E-05)	(5.4074E-08)	(5.1586E-11)
最大期权	139.7446	139.7443	139.7446	139.7446	139.7317	139.7446	139.7446
		(1.9232E-06)	(9.3550E-11)	(3.8289E-12)	(9.1711E-05)	(7.8260E-08)	(1.3202E-10)
最小期权	53.424	53.4243	53.424	53.424	53.4368	53.424	53.424
		(5.0307E-06)	(2.4470E-10)	(1.0015E-11)	(2.3990E-04)	(2.0471E-07)	(3.4534E-10)

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表  7  2D-GMDB的估计结果; Jump模型; 联合指数密度函数; T = 30

类型	参考值	2D-CFS			2D-COS
		$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $	$ N=2^6 $	$ N=2^8 $	$ N=2^{10} $
交换期权	25.3949	25.3944	25.3949	25.3949	25.3862	25.3949	25.3949
		(2.0434E-05)	(5.5832E-08)	(7.9798E-12)	(3.4835E-04)	(1.3872E-06)	(1.4698E-09)
几何期权	27.2576	27.2576	27.2576	27.2576	27.2559	27.2576	27.2576
		(3.3860E-06)	(3.3461E-09)	(3.2375E-12)	(6.3004E-05)	(1.2829E-07)	(1.2502E-10)
最大期权	103.6442	103.6437	103.6442	103.6442	103.6354	103.6443	103.6442
		(5.0066E-06)	(1.3680E-08)	(1.9552E-12)	(8.5353E-05)	(3.3990E-07)	(3.6013E-10)
最小期权	45.0295	45.0301	45.0295	45.0295	45.0384	45.0295	45.0295
		(1.1524E-05)	(3.1487E-08)	(4.5006E-12)	(1.9646E-04)	(7.8234E-07)	(8.2890E-10)

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为了描述2D-CFS方法对不同保单的到期时间情况的近似结果, 我们分别研究了在GBM模型和Jump模型下的多种到期时间下2D-GMDB产品的定价结果, 包含了从短期、中长期到终身情形, 剩余寿命$ T_x $密度函数选取联合指数密度函数形式, 结果详见表 8和表 9. 结果是2D-CFS方法在级数项数为$ N=2^{10} $对2D-GMDB产品的估计值, 其余参数选择见表 1. 在给定2D-CFS方法的级数项数时, 对不同到期时间的近似情况, 可以发现随着保单到期期限的增大, 这两种对数资产模型下的2D-GMDB产品的定价结果均逐渐增大.

表  8  2D-GMDB的估计结果; GBM模型; 联合指数密度函数; N = 2¹⁰

期权类型	$ T=5 $	$ T=10 $	$ T=30 $	$ T=60 $	$ T=\infty $
交换期权	1.5358	7.0457	41.8224	69.4657	77.3715
几何期权	1.8499	8.3782	44.4473	64.4731	67.5814
最大期权	10.6285	34.9355	139.7446	203.0708	218.0308
最小期权	6.7802	18.844	53.424	65.2332	66.6285

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表  9  2D-GMDB的估计结果; Jump模型; 联合指数密度函数; N = 2¹⁰

期权类型	$ T=5 $	$ T=10 $	$ T=30 $	$ T=60 $	$ T=\infty $
交换期权	1.1671	5.1656	25.3949	36.0709	37.6609
几何期权	1.2413	5.5517	27.2576	36.9119	37.8975
最大期权	9.8334	30.6057	103.6442	133.7512	137.6609
最小期权	6.6326	17.7306	45.0295	51.8415	52.3391

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6.   总结

在这篇文章中, 我们利用2D-CFS方法来近似计算2D-GMDB产品的价格. 我们构造了辅助函数$ g_{m, n}^{\delta} $和$ g_{m, n, T}^{\delta} $, 并利用2D-CFS方法对辅助函数进行展开化简. 对于剩余寿命密度函数的选择, 我们讨论了在联合指数形式和分段常数死亡率这两种密度函数形式下级数系数的展开形式, 进而可以得到2D-GMDB产品的近似定价公式.在数值计算中, 我们考虑了对数资产过程选择GBM模型和Jump模型, 计算了利用2D-CFS方法在交换期权、几何期权、最大期权和最小期权下2D-GMDB产品价格估计值, 同时计算了2D-COS方法的估计值, 并与其进行对比来说明2D-CFS方法的可行性. 通过改变级数项数说明随着级数项数的增加, 估计效果越好. 同时研究了在不同保单的到期时间情况下这四种期权的价格变化, 结果表明随着时间的增大, 价格也在逐渐增大.

在未来研究中, 还有一些问题值得深入思考: 考虑估计其他的变额年金, 比如GMWB、GMAB以及GLWB; 在本文的研究中模型的特征参数是假定不发生变化的, 进一步展望可以研究模型的特征参数受马氏链控制; 本文假定贴现利率是固定不变的, 可以考虑研究贴现利率是一种随机变量的情况; 在整篇文章中假定剩余寿命是服从联合指数分布和分段常数死亡率的形式, 进一步研究可以考虑死亡风险随时间变化, 即死亡率也是一种随机过程的情形.